Длительное сотрудничество с этим клубом (до 2006 года) стало для Дроздова чрезвычайно успешным, особенно в начале. Кульминацией стало присуждение ему звания «лучший игрок Франции», которое произошло в 2002 году. Его деятельность напрямую способствовала тому, что эта французская команда становилась чемпионами своей страны в сезонах 2000-2001, 2002-2003 и 2003-2004. Кроме того, следует вспомнить участие Дроздова в Кубке асов (Semaine des As) Франции в 2003 году.
Возвращение Артура Дроздова в Украину было ознаменовано подписанием контракта с баскетбольным клубом «Киев» в 2006 году. Ввиду его прошлых успехов неудивительно, что БК «Киев» стал финалистом украинского кубка в 2007 году и чемпионата плэй-офф в 2007 и 2008 годах. Дроздов регулярно пребывал в составе национальной баскетбольной сборной Украины, в том числе в качестве её капитана. Капитанское звание он имел и в своём клубе с 2008 года.
Дальнейшая карьера Дроздова изобилует переходами из клуба в клуб. С 2009 года он оформился по контракту в БК «Донецк», однако это продлилось недолго – помешало скорое банкротство клуба. В результате баскетболист вернулся в Киев, но теперь уже в другую команду – «Будивельник». Первая половина 2010 года в составе этого клуба отмечена титулом «Лучший форвард сезона».
Август 2010 года стал месяцем очередного отъезда игрока из Украины – в итальянскую команду «Ваноли Кремона». Этому способствовало его близкое знакомство со словенским специалистом Томо Махоричем, являвшимся главой команды. Ранее Дроздов работал под руководством Махорича в БК «Киев». Впервые за последние годы успех команды не был столь блестящем, так как она заняла лишь тринадцатое место в чемпионате Италии 2010 года.
Возможно, это и способствовало недолгому сотрудничеству с ней Дроздова – летом 2011 года он вернулся в Украину, на этот раз в мариупольский клуб «Азовмаш». Контракт с ним был подписан на три года, однако спустя год стало известно о том, что «Будивельник» пожелал вернуть себе известного игрока, очевидно предложив более выгодные условия. Новое участие в «Будивельнике» Дроздов должен начать в сентябре 2012, с подготовительных сборов команды во Франции.